数学

数学

数学とは

数学は本来、他の諸科学に対する大規模な方程式である。それゆえに、いっさいの学は数学にならねばならない

ノヴァーリス

数学 - Wikipedia

デカルト

デカルト空間

x, y空間を作ったので、それによってそれまで別々だった数式と、図形が結びついた。

図形を数式で考えることができるようになった。

すごいね。

非ユークリッド幾何学

『ユークリッド原論』の第五公理(平行線は一つしかない)の否定から始まる。

かつては数学は現実の空間を描写する自然科学と考えられていたが、そうではなく概念の追求として新しい可能な幾何学の想像である。

ガウスとか。

物理学

そしてアインシュタインの物理学は非ユークリッド幾何学をさらに押し進めたリーマン幾何学というものを使っている。

ニュートン空間の矛盾

  • 星が有限個なら重力で引き合って密集するだろう
  • かといって無限にあるなら夜空はもっと光で満たされるだろう

など

→この宇宙はユークリッド空間ではない。


公理主義

ヒルベルト

公理主義、形式主義、証明論、構造主義(読んでない)

群論

歴史的に言えば群は最初「働き」「変化」「運動」などの概念として生まれた。

それまでの数学にはそういった運動は扱わなかった。静止した数や図形のみ扱っていた。

群という集合。その中の各要素の関係性。

  • 環(わからん)
  • 体(わからん)
  • 束(わからん)

群 (数学) - Wikipedia

トポロジー

4次元以上の高次元の存在とか。

閉集合

位相幾何学 - Wikipedia

オイラーとかガウス

抽象代数学

抽象代数学 - Wikipedia

「結合」

ブルバキ

代数幾何

代数幾何学 - Wikipedia

代数幾何学(だいすうきかかく、Algebraic geometry) とは、多項式の零点のなす集合を幾何学的に(代数多様体として)研究する数学の一分野である。 大別して、

  1. 多変数代数関数体に関する幾何学論
  2. 射影空間上での複素多様体論

とに分けられる。


解析学

解析学 - Wikipedia

解析学(かいせきがく、analysis)とは、変化する量を実数や複素数の関数として扱い、微分や積分を用いて統一的に研究するような数学の一分野のことである。解析学の最も基本的な部分は、微分積分学、または微積分学と呼ばれる。 解析学の二大分野は、微分方程式論と確率論と言われている。


無限のパラドクス

無限のパラドクス―数学から見た無限論の系譜 (ブルーバックス)

無限のパラドクス―数学から見た無限論の系譜 (ブルーバックス)

第4章 微積分学の成立ーー近代の無限

17, 18c

無限小という概念

クサヌス 無限小という考え方ー線を限りなく小さく分割するとか

∞という記号

∞はあくまで何かの約束事を簡略化して表している記号であって、和ではない

極限という概念

極限 - Wikipedia

実数の数列について、項が進むにつれてある1つの値に限りなく近づいていくことを収束するといい、近づいていった先の数のことを極限という。収束しない数列は正の無限大に発散するもの、負の無限大に発散するものと振動する(値が一定しない)ものに分かれる。

0.999... - Wikipedia

数学において、小数点以下の各位にすべて9が並ぶ循環(十進)小数 0.999... が実数を表すものならば、それはちょうど 1 に等しい。

このように基数を取り替えて同じものを様々に表示することは、分数の小数展開や、さらに数学的に発展させると簡単なフラクタルであるカントール集合などが持っているパターン構造をよりよく理解するために応用することも出来、実数全体の成す無限集合の古典的な研究の一部を成しているのである。

ヒルベルトのテーゼ「矛盾を生じなければその概念は存在する」

ガリレオ(1564-1642)

  • ガリレオは線分が無数の点から成ると考えた(無限小!)
  • 静止は運動の極限状態である(静止は運動が無限に遅い状態である) ←これがすごく斬新

ケプラー(1571-1630)

惑星の軌道を計算。その過程で、軌道の面積とかを扱う →積分の始まり!

微分

最大最小問題、接線の問題など

積分

面積の計算、体積の計算、曲線の長さの計算など

ニュートン(1642-1727) イギリス

『プリンピキア』

ライプニッツ(1646-1716)

ニュートン、ライプニッツで極限、微積分学が完成

第5章 数学的パラドクスの終焉ーー現代の無限

オイラー(1707-1783)

18世紀最大、最高の数学者と呼ばれる

レオンハルト・オイラー - Wikipedia

>解析学(無限小解析)においては膨大な業績があり、微分積分の創始以来もっともこの分野の技法的な完成に寄与した。

ダランベール・ラグランジュ・ラプラスという流れ

フーリエ

それまで整数級しかなかったところに三角級数を持ち込む

コーシーによる厳密化

収束という術語

カントール

無限の濃度とか!

集合論

ラッセルのパラドックス→数学の危機

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